Sistemas de Ecuaciones 1ª parte

1. Sistemas de ecuaciones

La solución para un sistema de ecuaciones es un conjunto de valores que tienen la propiedad de satisfacer cada una de las ecuaciones, el método, básicamente, consiste en transformar el sistema lineal original en otro más sencillo de fácil solución; cuyo resultado sea igual al original.

La transformación se logra eliminando variables paso a paso con el fin de ir reduciendo el sistema. Para realizar la transformación se parte de la premisa que un sistema de ecuaciones no varía cuando se realizan en el, alguna o varias de las siguientes operaciones:

a. Intercambiar dos ecuaciones.

b. Multiplicar o dividir una ecuación por una constante distinta de cero.

c. Sumar o restar un múltiplo de una ecuación a otra.

Si bien, para aplicar este método, son necesarios algunos conocimientos elementales de matemáticas, Excel nos brinda opciones para resolver estos sistemas, basados en la teoría de matrices que, como veremos mas adelante, hacen de esta labor un ejercicio entretenido y ameno, permitiéndonos calcular raciones con ingredientes fijos cambiando, simplemente, la cantidad de mezcla en la ecuación correspondiente , para añadir a continuación otros ingredientes tales como sal, vitaminas y micro minerales que, generalmente vienen especificadas en cantidades fijas y/o recomendadas por los proveedores.

Mediante los ejemplos mostraremos la posibilidad de introducir en forma sencilla y con poca teoría los conceptos elementales sobre matrices y la solución de sistemas de ecuaciones lineales aplicando el concepto de matriz inversa, valiéndonos de las funciones que suministra la aplicación EXCEL.

 

Método de eliminación para 2 ingredientes y un nutriente

Para introducirnos en la teoría de sistemas de ecuaciones y describir el proceso manual, o con calculadora, veamos un ejemplo concreto:

Ejemplo Nº 1

Deseamos preparar 100 kg de una mezcla, con Maíz y Soya harina que aportan 8.26 % y 45,3 % de proteína respectivamente; debemos obtener un alimento que contenga 17,86 % de proteína para satisfacer el requerimiento de pollos machos de 34 a 42 días de edad. Estos valores los obtenemos de las siguientes tablas:

Fuente: Tabla resumida de Alimentos Brasileros
Alimentos	PB%	EM Kcal/kg Aves	Calcio %	Fósforo Disp %	Lisina Dig % aves
Maíz	8,26	3381	0,11	0,08	0,21
Soya Harina (45%)	45,3	2256	0,24	0,18	2,55

Fuente: Tabla de requerimientos para pollos de engorde
Sexo, Edad, días	PB %	EM. Kcal/kg	Calcio %	Fósfor Disp. %	Lisina dig %
Machos 34 a 42 días	17,86	3150	0,756	0,377	1,017

Se nos plantea el problema de calcular cuantos kilogramos de cada uno de los alimentos se necesitan para que el alimento aporte 17,86 % de proteína.

En primer lugar procedemos a construir el sistema de ecuaciones de la siguiente manera:

X + Y = 100

0,453 X + 0,0826 Y = 17,86

Donde:

X = Soya harina

Y = Maíz

0,453 = Porcentaje de proteína de Soya harina (45,3/100)

0,0826 = Porcentaje de proteína del Maíz (8,26/100)

100 = kg de mezcla que deseamos obtener

17,86 = % de proteína que deseamos obtener.

Resolución manual

Sistema de ecuaciones

Ecuación Nº 1 1X + 1Y= 100

Ecuación Nº 2 (Desconocida) 0,453X+0,0826Y=17,86

Para resolver este problema es necesario multiplicar la ecuación Nº 1 (X+Y=100) por una unidad que permita eliminar uno de los factores desconocidos de la segunda ecuación. Por lo tanto, para obtener la ecuación Nº 3, multiplicaremos 0,0826 (Proteína Maíz) por los términos de la Ecuación Nº 1, tal como se describe a continuación:

Multiplicando 0,0826 por todos los términos de la ecuación 1 resulta:

Ecuación Nº 3 0,0826X + 0,0826Y= 8,26

Se resta cada término de la ecuación Nº 2 por el correspondiente de la ecuación Nº 3 y tenemos:

Ecuación Nº 4 0,3704X+ 0= 9,6

Transponiendo términos X = 9,6 / 0.3704

Por lo tanto X = 25,92

Despejando Y =100-25,92= 74.08

Entonces: Soya X 25.92 + Maíz Y 74.08 = 100

Sustituyendo para proteína (25,92 x 0,453) + (74.08 x 0,0826) = 17.86

Al obtener una mezcla con 17,86 % de proteína los cálculos efectuados satisfacen nuestro objetivo

2. Resolución en Excel.

Los cálculos precedentes podemos realizarlos en Excel, de esta manera obtendremos un programa para dar solución a un problema de formulación de alimentos, cuyo objetivo es encontrar la cantidad de alimentos que se deben incorporar en la mezcla para obtener el % de proteína requerido.

Ejemplo Nº 2

Con los mismos datos del ejemplo Nº. 1, desarrollaremos el sistema en Excel, como primer paso abrimos un libro en blanco en el cual introduciremos los datos y fórmulas que nos permitirán realizar los cálculos pertinentes.

En una hoja de Excel introduzca los datos y fórmulas de la siguiente figura:

	A	B	C	D
1
2	Alimentos	Maíz	T. Soya	Restricciones
3	Variables	X	Y	X+Y
4	Cantidad X  - Y	1	1	100
5	Proteína	0,0826	0,453	17,86
6
7		=$B$5*B4	=$B$5*C4	=$B$5*D4
8		=B5-B7	=C5-C7	=D5-D7
9
10	=C2	Y=	=D8/C8	=C10*C5
11	=B2	X=	=D4-C10	=C11*B5
12	Total	X+Y=	=SUMA(C10:C11)	=SUMA(D10:D11)

• El rango B4:C5 contiene valores de las ecuaciones 1 y 2 del Ejemplo Nº 1.
• La celda D4 contiene la cantidad de mezcla que deseamos obtener (100 kg)
• La celda D5 contiene el porcentaje de proteína que deseamos obtener (17.86 %)
• El rango B7:D7 (fila 7) multiplica todos los términos de la ecuación Nº 1 (B4:D4) por el valor de la proteína de del Maíz 0.0826 (Celda B5).

• El rango B8:D8 (fila 8) resta todos los términos de la ecuación Nº.3 (B7:D7) de la ecuación Nº 2 (B5:D5)

• El rango A10:D12 despeja las incógnitas y muestra el resultado del sistema.

Resultado del ejemplo Nº 1 en Excel

VISUALIZACION DEL EJEMPLO Nº 1
	A	B	C	D
1
2	Alimentos	Maíz	T. Soya	Restricciones
3	Variables	X	Y	X+Y
4	Cantidad X  - Y	1	1	100
5	Proteina	0,0826	0,453	17,86
6
7		0,0826	0,0826	8,26
8		0	0,3704	9,6
9
10	T. Soya	Y=	25,92	11,74
11	Maíz	X=	74,08	6,12
12	Total	X+Y=	100,00	17,86

La figura precedente nos muestra el resultado de los cálculos efectuados en la hoja electrónica.

• La celda C10 nos indica que debemos incorporar 25.92 kg de T. Soya y, la celda D10, su aporte de proteína.
• La celda C11 nos indica que debemos incorporar 74.08 kg de Maíz, la celda D11, su aporte de proteína
• La celda C12 nos muestra la cantidad (100 kg) de mezcla buscada en el sistema
• La celda D12 nos muestra el aporte de proteína (17,86%) en la mezcla obtenida

Por lo tanto, el sistema satisface los objetivos buscados.

La siguiente semana:  Sistemas de Ecuaciones 2ª parte

SOLUCIÓN POR EL MÉTODO MATRICIAL DE MS EXCEL
FUNCIÓN MINVERSA
FUNCIÓN MMULT
RESOLUCIÓN DEL EJEMPLO Nº 1 MEDIANTE EL MÉTODO MATRICIAL
Ejemplo Nº 3
Invertir matriz
Multiplicar matriz
Resultado del método matricial
Comprobación del resultado
Descripción del resultado

Contacto: Ing. Rene Huici C.   rhuici16@gmail.com